Über Erdkrümmung und Refraktion

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Von

B. Reber ( Sektion Bern ).

Es ist im Jahrbuche des S.A.C. schon zweimal über dieses Thema gesprochen worden, einmal in Band I in eingehender Weise von Herrn Ingenieur Denzler und des fernem in Band XVIII von Herrn Architekt Christen. Wenn hier nochmals davon die Rede ist, so geschieht es hauptsächlich aus folgenden Gründen: die Mitteilungen des Herrn Denzler sind im Jahr 1864 in einer zur jetzigen Zahl der Clubmitglieder verschwindend kleinen Anzahl vorhanden ( Verhältnis kaum 1: 10 ), und da dieser erste wertvolle Band sorgfältig gehütet wird, so dürfte der Inhalt desselben auch verhältnismäßig wenigen zugänglich seinzudem, und dies ist der Hauptgrund, haben sich seither die Elemente zur Bestimmung einer mittlern Refraktion durch zahlreiche Versuche und Beobachtungen auf eine festere Basis abklären lassen, so daß sie von den Denzler'schen ziemlich abweichen, besonders auf größere Distanzen.

Bei der Lösung der Frage: ist der oder der Gipfel von diesem oder jenem aus über einen dritten hinweg sichtbar, sind neben den zutreffenden Distanzen und Höhen der fraglichen Punkte zwei wesentlich einwirkende Faktoren zu berücksichtigen: die Erdkrümmung und die Strahlenbrechung oder Refraktion.

Die erstere ist eine definitiv bekannte Größe, da sie aus den Dimensionen des Geoids ( der Erde ) resultiert und für jede beliebige Entfernung genau berechnet werden kann. Sie bewirkt, daß entferntere Gegenstände allmählich unter dem Horizonte des Beobachters verschwinden, und dies um so mehr, je größer die Entfernung wird. Hohe Gipfel vermögen noch einige Zeit über dem Horizont emporzuragen, und zwar so lange, als ihre relative Höhe über dem Standpunkte des Beobachters größer ist als die für ihre Entfernung zutreffende Erdkrümmung, falls nicht andere Erhöhungen im Vordergrunde hindernd und beschränkend einwirken. Die Erdkrümmung wirkt immer in einem negativen, d.h. für die Sichtbarkeit nachteiligen Sitine. Sie berechnet sich wie folgt: die Distanz k in Kilometern wird ins Quadrat erhoben ( mit sich selber multipliziert ) und die so erhaltene Zahl mit dem unveränderlichen Koeffizienten = 0.078357 multipliziert; also ist die betreffende Erdkrümmungskorrektur = k2 X 0.078357 in Metern, z.B. für 120 km. beträgt sie = 120 X 120 X 0.078357 = 1128 m. Wird mit Logarithmen gerechnet, wobei fünf-stellige genügen, so wird der log. der Distanz verdoppelt und zu diesem Resultat der ständige log. = 8.89408 — 10 addiert, wenn die Distanz in Kilometern und der log. = 2.89408, wenn dieselbe in Metern gegeben ist, und dann von dem so erhaltenen log. der Numerus gesucht. Wiederum für 120 km. = 120000 m:

KilometerMeter log. 1202.07918log. 1200005.07918 log. 1202.07918log. 1200005.07918 log. konstant = 8.89408 — 10 log. konstant = 2 89408 — 10 log. Erdkrümmung = 3.05244log. Erdkrümmung = 3.05244 hieven der Numerus .ergiebt wieder wie oben = 1128 m.

In einem andern Sinne wirkt die irdische Strahlenbrechung oder die terrestrische Refraktion. Wäre die die Erde umgebende Lufthülle eine überall gleichmäßig warme, ruhige und dichte, so würde der Sehstrahl eines Beobachters in ziemlich gerader Linie vorwärtsgehen; dies ist nun aus verschiedenen naheliegenden Gründen nicht der Fall, vielmehr ist der Zustand der Luft ein sehr ungleichmäßiger, man denke nur an die Abnahme der Luftdichtigkeit nach oben. Das bewirkt, daß, wie beim Eindringen in das Wasser, ein Lichtstrahl, und als einen solchen haben wir uns den Sehstrahl unseres beobachtenden Auges vorzustellen, von seiner geraden Linie abgelenkt wird, und dies wiederum um so mehr, je größer die Distanz wird, auf die wir einen fernen Gegenstand beobachten. Es wird beim Durchdringen der verschiedenartigen Luftschichten der Sehstrahl in einer Bogenlinie ( Kurve ) sich fortbewegen, deren konkave Seite gegen die Erde gekehrt ist. Für gewöhnlich wird daher die Refraktion in einem positiven, für die Sichtbarkeit günstigem Sinne wirken; sie eliminiert in etwas die negativen Einflüsse der Erdkrümmung, vermag diese jedoch nicht ganz anfzuheben, da sie im Mittel cirka 7.6 mal kleiner ist als die letztere; sie kann aber unter besonders günstigen Umständen ermöglichen, daß ein ferner liegender Gipfel uns noch über einen andern näher liegenden hinweg sichtbar wird, der sonst nach den Bedingungen der Erdkrümmung allein uns verschwinden würde.

Wenn nun schon die Wirkungen der Refraktion entsprechend den steten Wechseln, denen die Luft durch die ewig variierenden Wärme-, Ruhe- und Höhenverhältnisse unterworfen ist, unter Umständen sehr verschiedene sein können, so ist man doch durch weitgehende Beobachtungen dahin gekommen, für normale Verhältnisse eine Konstante zu finden, welche uns hilft, auch diese Einwirkungen zu berechnen. Es wird wieder die Distanz k in Kilometern quadriert und dann mit dem ständigen Koeffizienten = 0.010186 multipliziert, d.h. es ist der Refraktionsbetrag = k2 X 0.010186 in Metern. Nehmen wir wieder die Distanz k = 120 km, so ist die Refraktion = 120 X 120 X 0.010186 = 146.7 m. Wird die Rechnung mit Logarithmen gemacht, so ist zum doppelten log. der Distanz der konstante log. = 8.00802 — 10 wenn k in Kilometer, und der log. = 2.00802 — 10 zu addieren, wenn k in Metern angenommen wurde. Beispiel:

KilonieterMeter log. 1202.07918log. 120000 =5.07918 log. 1202.07918log. 120000 =5.07918 log. konstant — 8.00802 — 10 log. konstant = 2.00802 — 10 log. Refraktion =2.16638log. Refraktion =2.16638 ergiebt Refraktion = 146.7 m.

Da Erdkrümmung wie Refraktion beide im Quadrat der Entfernung wachsen, so ist es einfach, die Einwirkung beider in einer Rechnung zu bestimmen, und zu, dem Zweck ist wieder die Distanz k in Kilometern ins Quadrat zu erheben und dann mit 0.068171 zu multiplizieren, also Gesamtkorrektion = k2 < 0.068171. Für120km. = 120 X 120X0.068171 = 981.7 m. Bei logarithmischer Berechnung addiert man zum doppelten log. k in Kilometern den konstanten log. =. 8.83360 — 10, zum doppelten log. k in Metern den konstanten log. = 2.83360. Beispiel:

KilometerMeter log. 120 =2.07918log. 1200005.07918 log. 120 =2.07918log. 1200005.07918 log. konstant = 8.83360 — 10log. konstant2.83360 — 10 log. Corr.2.99196log. Corr.2.99196 = Gesamthorizontkorrektion = 981.7 = Differenz der oben erhaltenen Werte: für Erdkrümmung.. =—1128.3 m. „ Refraktion ...=+ 146.7 m.

Gesamthorizontkorrektion981.6 m.

Die nachfolgende Tabelle ist mit Hülfe dieser Formeln berechnet worden und dürfte für alle in der Schweiz vorkommenden Höhenverhältnisse genügen.

Zur Vergleichung sind in derselben auch die Angaben für Erdkrümmung und für Refraktion besonders berechnet; meist wird man aber nur diejenigen für beide zusammen, diejenige der Gesamthorizontkorrektion zur Lösung gegebener Fragen nötig haben.

B. Reber.

Tabelle über den Betrag der Erdkrümmung, der Refraktion und beider zusammen.

Erdkrümmung Refraktion Erdkrümmung und Refraktion Distanz in Kilometer in Meter Differenz pro 1 Kilometer in Meter Differenz für 1 Kilometer in Meter Differenz flir 1 Kilometer 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 52.5 55 57.5 60 62.5 65 67 5 70 72.5 75 77.5 80 82.5 85 87.5 90 925 95 97.5 100 102.5 105 107.5 110 2.0 7.8 17.6 31.4 49.0 70.5 96.0 125.4 158.7 195.9 216 237 259 282 306 331 357 384 412 441 471 502 533 566 600 635 671 707 745 784 823 864 906 948 Meter 0.3 1.0 2.3 4,1 6.4 9.2 12.5 16.3 20.6 25.5 28 31 34 37 40 43 46 50 54 57 ( il 65 69 74 78 83 87 92 97 102 107 112 118 123 Meter Meter 1.1 1.7 2.4 3.1 3.7 4.4 5.1 5.8 6.5 7.0 7.2 7.6 8.0 8.4 8.8 9.2 9.2 9.6 10.0 10.4 10.8 10.8 11.2 11.6 12.0 12.4 12.8 13.2 13.6 14.0 14.4 14.4 14.8 8.0 8.4 8.8 9.2 9.6 10.0 10.4 10,8 11.2 11.6 12.0 12.4 12.8 13.2 13.6 14.0 14.4 14.8 15.2 15.6 16.0 16.4 16.8 16.8 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.6 1.2 1.2 1.6 1.6 1.6 2.0 1.6 2.0 1.6 2.0 2.0 2.0 2.0 2.4 2.4 2.0 1.7 6.8 153 27.3 426 61.3 835 109.1 138.1 .170.4 188 206 225 245 266 288 311 334 358 384 410 437 464 492 522 552 584 615 648 682 716 752 788 825 Über Erdkrümmung und Refraktion.

Erdkrilmmung Refraktion Erdkrümmung und Refraktion Distanz in Kilometer in Meter Differenz pro 1 Kilometer in Meter Differenz für 1 Kilometer in Meter Differenz für 1 Kilometer 110 110 112.5 115 117.5 120 122.5 125 127.5 130 132.5 135 137.5 140 142.5 145 147.5 150 152.5 155 157.5 160 162.5 165 167.5 170 172.5 175 177.5 180 182.5 185 187.5 190 192.5 195 948 948 992 1036 1082 1128 1176 1224 1274 1324 1370 1428 1481 1536 1591 1647 1705 1763 1822 1883 1944 2006 2069 2133 2198 2265 2332 2400 2469 2539 2610 2682 2755 2829 2904 2980 Meter 16.8 17.6 17.6 18.4 18.4 19.2 19.2 20.0 20.0 20.8 20.8 21.2 22.0 22.0 21.4 23.2 23.2 23.6 24.4 24.4 24.8 25.2 25.6 26.0 26.8 26.8 27.2 27.6 28.0 28.4 28.8 29.2 29.6 30.0 30.4 123 123 129 135 141 147 153 159 166 172 179 186 193 200 207 214 222 229 237 245 253 261 269 277 286 294 303 312 321 330 339 349 358 368 377 387 Meter 2.0 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.8 2.4 2.8 2.8 2.S 2.8 2.8 2.8 3.0 3.0 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 3.6 3.2 3.6 3.6 3.6 3.6 3.6 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 825 825 863 902 941 982 1023 1065 1108 1152 1197 1242 1289 1336 1384 1433 1483 1534 1585 1638 1691 1745 1800 1856 1913 1970 2029 2088 2148 2209 2271 2333 2397 2461 2526 2592 Meter 14.8 15.2 156 16.0 16.4 16.4 16.8 17.2 17.6 18.0 18.4 18.8 18.8 19.2 19.6 20.0 20.4 20.4 21.2 21.2 21.6 22.0 22.4 22.8 22.8 23.2 23.6 24.0 24.4 24.8 24.8 25.6 25.6 26.0 26 4 B. Beber.

Distanz in Kilometer Erdkrümmung Refraktion Erdkrümmung und Refraktion in Meter Differenz pro 1 Kilometer in Meter Differenz für 1 Kilometer in Meter Differenz für 1 Kilometer 195 197.5 197.5 200 202,5 205 207.5 210 212.5 215 217.5 220 222.5 225 227.5 230 232 5 235 237.5 240 242.5 245 247.5 250 252.5 255 257.5 260 2980 3056 3056 3134 3213 3293 3374 3456 3538 3622 3707 3793 3879 3967 4056 4145 4236 4327 4420 4513 4608 4703 4800 4897 4996 5095 5196 5298 Meter 30.4 30.4 31.2 31.6 32.0 32.4 32.8 32.8 33.6 34.0 34.4 34.8 35.2 35.6 35.8 36.4 36.4 37.2 37.2 38.0 38.0 38.8 38.8 39.6 39.6 40.4 40.8 387 397 397 407 418 428 439 449 460 471 482 493 504 516 527 539 551 563 575 587 599 611 624 637 649 662 675 689 Meter 4.0 4.0 4.0 4.4 4.0 4.4 4.0 4.4 4.4 4.4 4.4 4.4 4.8 4.4 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 5.2 5.2 4.8 5.2 5.2 5.6 2592 2659 2659 2727 2795 2865 3935 3006 3078 3151 3225 3300 3375 3451 3528 3606 3685 3765 3845 3927 4009 4092 4176 4261 4346 4433 4520 4608 Meter 26.4 26.8 27.2 27.2 28.0 28.0 28.4 28.8 29.2 29.6 30.0 30.0 30.4 30.8 31.2 31.6 32.0 32.0 32.8 32.8 33.2 33.6 34.0 34.0 34.8 34.8 35.2 Die Angaben in vorstehender Tabelle gelten, wie gesagt, für mittlere Verhältnisse. Je nachdem sich die Luft nach oben stark oder weniger stark abkühlt, ist der Refraktionsbetrag ein kleinerer oder ein größerer, der Totalbetrag infolgedessen ein größerer oder kleinerer. Diese Schwankungen dürften, wie Herr Denzler sagt, bis zum zwanzigsten Teil der Gesamt- korrektur gehen, und es ist richtig, wie er ferner angiebt, daß z.B. bei starkem Föhn, bei welchem die obern Luftschichten sehr warm sind, ferne Gipfel Über verhältnismäßig nähere hinweg gesehen werden können, während dies bei normalen Verhältnissen nicht der Fall ist, besonders nicht, wenn die Wärme nach oben rasch abnimmt, wobei die Refraktion kleiner wird, also weniger stark ihre der Sichtbarkeit günstigen Einwirkungen geltend machen kann.

Wenn wir die Tabelle näher ansehen, so ergiebt sich noch folgende bequeme Hülfsformel zur Berechnung der Gesamtkorrektion: die Distanz in Kilometern ist ins Quadrat zu erheben und dieses Resultat durch 14.67 zu dividieren ( die von Denzler angegebene Zahl 15 ergiebt eine zu kleine mittlere Korrektur, mag für gröbere Kontrollen jedoch genügen ).

Ferner ist aus der Tabelle ersichtlich, daß für eine doppelte Distanz = 2 k die Korrekturen das Vierfache betragen als für die einfache Distanz k, was naturgemäß aus der Berechnungsweise hervorgeht.

Soll nun die Frage gelöst werden, ob ein bestimmter Gipfel von einem andern aus gesehen werden kann, so muß auf der Karte die gerade Linie zwischen den beiden Punkten ermittelt werden, sei es mittelst Lineal, gespanntem Faden etc. etc. Dabei sieht man, welche Punkte hindernd in den Weg treten oder die Sichtbarkeit in Frage stellen. Dieselben werden notiert, ihre Höhe gesucht uud ihre Entfernung vom Ausgangspunkt gemessen. Für gewöhnliche Untersuchungen wird es genügen, die letztere auf der Karte mittelst des Maßstabes abzugreifen, für genauere müssen die Koordinaten der betreffenden Punkte ermittelt und daraus die genaue Distanz gerechnet werden. Dann macht sich die Rechnung im fernem wie folgt — nach Denzler 1 ) „ Die Höhe „ des Ausgangspunktes wird von denjenigen der zwei ( oder mehr ) zu „ untersuchenden Punkte abgezogen und das Ergebnis mitplus ) oder „ mitminus ) bezeichnet, je nachdem sie höher oder tiefer als der „ Ausgangspunkt sind. Dazu kommt für jeden dieser Punkte die Wirkung „ der vereinigten Krümmung und Refraktion nach der vorstehenden Tabelle „ mit den zutreffenden Distanzen, und zwar stets mit dem Zeichenminus, erniedrigend ). Bei gleichen Zeichen zählen sich die beiden „ Werte jedes Punktes zusammen, bei ungleichen gilt der Unterschied „ und Zeichen des größern Wertes. Diese neuen Werte werden dann „ durch die zugehörigen Entfernungen geteilt; giebt der weitere Punkt „ ein größeres Ergebnis in + oder ein kleineres in —, so blickt er über „ den nähern hinweg, d.h. er ist vom Ausgangspunkt sichtbar. "

R. lieber.

Es folgen hier nun drei Beispiele:

1 ) Sieht man vom Niesen aus die Spitze der Grande Jorasse? Dazwischen liegen und beeinträchtigen die Sichtbarkeit der Grat zwischen Iffigen und Rawylpaß mit 2702 m und le Sex rouge mit 2907 m; Niesen hat 2367 m; Grande Jorasse 4206 m. Nun ist Aufgangs-, End- und

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9 Diesel ~.s 5 km.

Niesen...

0 2367 Höhe bei Rawyl 34.5 2702

+ 335

— 81f- 254 -f- 1: 7.4 Sex rouge..

40.5 2907

4- 540

— 112j- 4281: 10.6 Grande Jorasse s 101 4206 i- 1839 — 696

= -j-H43

-j-1: 11.3 Die Grande Jorasse ist also sichtbar, und zwar noch bis cirka 70 m unter ihrer Spitze.

2 ) Sieht man den Mont Blanc vom Niesen aus? Wenn wir das Gsür weglassen, so haben wir noch als hohen Zwischenpunkt den Sattel zwischen Wildhorn und la Pucelle ( südlicher Gipfel des Wildhorns ) mit cirka 3140 m. Es ist Aus-

ogen urch Ausgangs-, End- und

Krliu frakti ibgez

° S Zwischenpunkte

I

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a < a ) Si »'Ss 3

2 ^ ce'S

I

m m.

Niesen...

0 2367 Sattel b. Wildh.

39.5 3140

773 — 107

666 1 :17.(V Mont Blanc 108 4810 2443 — 795 1648 l: 15.3 i Der Mont Blanc ist vom Niesen aus also nicht sichtbar, und zwar bleibt er fast 200 m unter dem Sattel beim Wildhorn. Beim ersten Beispiel ist die Steigung des Sehstrahles pro einen Kilometer die größte auf Grande Jorasse, 11.3 m pro Kilometer, folglich ist dieser sichtbar; beim zweiten Über Erdkrümmung und Refraktion.

l Beispiel beträgt die Steigung des Sehstrahles auf dem Mont Blanc bloß 15.3 m per Kilometer, diejenige auf dem davorliegenden Wildhornsattel dagegen 17.0 m, also ist der Mont Blanc verdeckt.

Als ferneres Beispiel diene noch folgendes etwas komplizierterer Natur:

3 ) Ist das Finsteraarhorn von der Straßenkehre zunächst ob dem Hof in Chur aus sichtbar?

Es kommen hier nicht weniger als sechs Zwischenpunkte in Frage: Ausgangspunkt = 647 m Höhe, Endpunkt = 4275 m, Distanz 112 km ., dazwischen liegen:

er ) die Höhe im Längwald n. w. von Versam mit 900 m, Distanz = 17.6 km .; b ) eine solche bei Vallata ( Obersaxen ) mit 1160™, Distanz = 31 km .; cj die Höhe des Plaungrond zwischen Dissentis und Sedrun mit 1999 m, Distanz = 58 km .; d ) der Culm de Val nördlich von Tschamut mit 2210 m, Distanz66 km .; c. ) das Mütterlihorn, nördlich Realp, mit 3063 m, Distanz =82 km ., und f ) der Grat, cirka 700—800 m südlich vom Galenstock mit 3260 m, Distanz = 89 km.

Es ist daher Punkte

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W 4 ) s tu -43 dabgezogen eibt urch Distanz il lometer I a S3

II

Dista'S'ö M Dista

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i Chur...

0 647 Längwald..

17.6 900

+ 253

— 21

232

13.2 Vallata...

31 1160

+ 513

- 66

447

14.4 Plaungrond 58 1999 + 1352 -229

1123

19.4; Culm de Val.

66 2210 + 1563 -297 i1266

19.2'Mütterlihorn.

82 3063 + 2416 -4591957

23.9 Galengrat.

89 3260 + 2613 -5402073

23.4, Finsteraarhorn 112 4275 + 3628 -8562772

24.8 Es ist also das Finsteraarhorn von dem genannten Punkte bei Chur aus sichtbar, und zwar wird es gewöhnlich um cirka 95 m Über das Mütterlihorn emporragen.

E, Beber.

Sind die Zwischenpunkte und der Endpunkt niedriger als der Beobachtungsstandort, so macht sich die Rechnung ganz gleich, nur ist der Betrag der Erdkrümmung und Refraktion zu der Zahl zu addieren, die man erhält, wenn die Höhe des Ausgangspunktes von derjenigen der Zwischenpunkte und des Endpunktes abgezogen wird, da dann beide — werden. Gestatten Sie auch hierfür ein Beispiel: Frage: Ist der Rigikulm ( 1801 m ) vom Scopi ( 3200 m ) aus sichtbar? Die Visur geht zunächst westlich des Val Medels über den Gipfel ( 2892 m ) s. w. dem Piz Aul in einer Distanz vom Scopi von 6.3 km ., überschreitet nachher den Hauptkamm zwischen Hinterrhein- und Maderanerthal am Krüzliberg in der Höhe von 2604 m ( 17 km. vom Scopi ); der Rigi ist vom Scopi rund 60 km. entfernt. Wir rechnen wie folgt:

Punkte

II II

ïï

II II

Scopi... Hinter Piz Aul Krüzliberg. Rigi

0 6.3 17 60 3200 2892 2604 1801 308 596 1399 3 20 245311 1:50 :— 616 1:36 — 1644 1 :27.4 der Sehstrahl fällt hier auf Rigi pro Kilometer um 27.4 m, während auf den Krüzliberg schon 36 m und auf den Punkt hinter Piz Aul sogar 50™ fallen; folglich ist der Rigi vom Scopi aus sichtbar. Man merke sich: Steigt der Sehstrahl, so sind die Punkte sichtbar, welche die größere und größte Steigung des Sehstrahls per Kilometer aufweisen, fällt aber derselbe, so sind es diejenigen, welche das kleinere und kleinste Gefäll besitzen.

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